Perkalian Matriks

Perkalian Matriks

Matriks

Perkalian Matriks – Invers, Transpose, Pengertian Dan Jenisnya– DosenPendidikan.Com– Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuan.

Perkalian Matriks


Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.


Pengertian Matriks

Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuan Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.


Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan didekomposisikan.


Jenis-jenis matriks

Jenis-jenis matriks adalah :

  1. Matriks baris
  2. Matriks kolom
  3. Matriks diagonal
  4. Matriks identitas
  5. Matriks nol

Operasi-operasi pada matriks

Operasi-operasi pada matriks adalah ;

  1. Dalam penjumlahan matriks
  2. Dalam pengurangan matriks
  3. Dalam perkalian bilangan real (scalar) dengan matriks
  4. Perkalian matriks
  5. Perpangkatan matriks persegi

Baca Juga : Rumus Volume Tabung


Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linear, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan dipangkatkan.

Contoh :

persamaan linear, transformasi koordinat

Keterangan :

Keterangan


Jenis-Jenis Matriks

  • Matriks baris

Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja. Misalnya

Matriks baris

  • Matriks kolom

Matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Misanya

Matriks kolom

  • Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak kolom dan banyak barisnya sama. Misalnya

Matriks persegi

Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 2 dan 0.


Baca Juga : “Listrik Dinamis” Pengertian & ( Rumus – Contoh )


  • Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 0 (nol). Misalnya

Matriks diagonal

  • Matrik identitas

Matriks identitas adalah matriks pesegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lainnya semuanya 0. Misalnya

Matrik identitas

  • Matriks nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0 (nol). Metriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya . Misalnya

Matriks nol


Transpose Matriks

Jika A adalah sembarang matriks m×n, maka transpose A, dinyatakan dengan AT, didefinisikan sebagai matriks n×m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A: yaitu, kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.


Amati, bahwa tidak hanya kolom dari AT  menjadi baris dari A, tetapi baris dari AT juga menjadi kolom dari A. jadi, entri dalam baris I dan kolom j dari AT dapat diperoleh dengan “mencerminkan” A terhadap diagonal utamanya.

Contohnya

Transpose Matriks


Kesamaan Dua Matriks

Jika A+B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B  adalah matriks yang di peroleh dengan menambah entri-entri B dengan entri-entri A yang berpadanan dan selisih A-B adalah matriks yang di peroleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks – matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.


Dalam notasi matriks, jika A=[aij] dan B=[bij] mempunyai ukuran yang sama, maka A=B  jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij , atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j.

Kesamaan Dua Matriks

Maka, matriks yang memiliki kesamaan adalah A dan B karena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama sedangkan yang di A dan C, B dan C merupakan matriks yang tidak memiliki kesamaan meskipun ordonya sama, tetapi ada elemen-elemen seletak yang nilainya tidak sama, maka matriks tersebut tidak sama.


Baca Juga : “Listrik Statis” Pengertian & ( Konsep Dasar – Contoh – Rumus )


Operasi-Operasi Matriks

  • Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks A dan B, ditulis A+B, di definisikan sebagai sebuah martiks

martiks

yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak  dari matriks A dan B. Syarat dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Misalnya

Penjumlahan Matriks


Pada penjumlahan matrik juga berlaku sifat- sifat, apabila matrik A,B dan C berordo sama yaitu m x n.

  1. A+B = B+A (sifat komulatif)
  2. A+B+C = A+(B+C) (sifat asosiatif)
  3. Unsur-unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga
  4.  A+O = O+A = A
  5. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A+(-A) = (-A)+A=O
  • Pengurangan Matriks

  • Lawan suatu matriks

Lawan suatu matriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks tersebut. Dapat ditulis dari matriks

suatu matriks

  • Pengurangan matriks

Pengurangan matrik A dan B, ditulis A-B, didefinisikan sebagai sebuah matriks

Pengurangan matriks

yang di peroleh dari pengurangan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak. Karena pengurangan pada dasarnya sama dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah maka pengurangan matriks B terhadap matriks A dapat di tulis sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B, atau dapat di tulis.

matriks 1

Dengan –B adalah lawan matriks B. syarat agar dua matriks atau lebih dapat di kurangkan adalah matriks-matriks yang mempunyai ordo yang sama. Misalnya

Pengurangan matrik A dan B


  • Perkalian Bilangan Real (Scalar) dengan Matriks

Didefinisikan, misal A suatu matrik ber ordo m x n dan k adalah suatu scalar maka matriks kA di peroleh dari mengalikan semua elemen  A dengan scalar k. Misalnya

Perkalian Bilangan Real

Adalah kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien scalar

koefisien scalar

Adalah kombinasi linear dari A, B dan C


Baca Juga : Rumus Cermin Cembung


  • Perkalian Matriks

Perkalian matriks didefinisikan, misal A matriks berordo m x p dan B matriks berordo p x n maka A x B adalah suatu matriks

Perkalian matriks didefinisikan

  • Matriks ke kolom ke-j dari AB= A[matriks dari kolom ke-j dari B]
  • Matriks baris ke I dari AB=[matriks baris ke I dari AB]

Matriks baris 1

Apabila matriks A= 2×2 dan matriks B = 2×2 maka bagannya dapat di tulis Ordo hasil kali

matriks A= 2x2 dan matriks B = 2x2

maka AxB, BxC dapat di lakukan perkalian, sedangkan AxC tidak dapat di lakukan perkalian karena banyak kolom pada matriks A tidak sama dengan banyak baris matriks C atau

baris matriks C

Apabila matriks A,B dan C dapat dikalikan atau di jumlahkan. jika k bilangan real (scalar) Maka pada perkalian matriks juga berlaku sifat- sifat :

  • Tidak komulatif, yaitu AxB ≠ BxA
  • Asosiatif, yaitu (AxB) x C = A x (BxC)
  • Distributif:
  1. Distributif kiri, A x (B+C) = ( AxB) + (AxC)
  2. Distributif kanan, (A+B) x C = (AxC) + (BxC)

  • Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat. IA=AI=A
  1. Jika AB=0 belum tentu A=0 atau B=0
  2. jika AB=AC belum tentu B=C
  • Jika p dan q adalah bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks, maka berlaku hubungan. (pA)(qB) = (pq)(AB)
  • Jika berturut turut adalah traspos dari matriks A dan matriks B,  maka berlaku hubungan.

matriks A dan matriks B


  • Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks maka :

Perpangkatan Matriks Persegi


Baca Juga : Lensa Cekung – Pengertian, Sifat, Rumus, Sinar Istimewa dan Contoh


Contoh Soal

Contoh Soal matriks

Jawab :

dengan kesamaan dua matriks maka didapat:

 x + 2y = 4

2x – y = 3

Kemudian gunakan metode eliminasi dan subtitusi untuk mencari nilai x dan y.

gunakan metode eliminasi dan subtitusi

jadi, deperoleh nilai x = 2 dan y = 1

Diketahui matriks P


Baca Juga : Hukum Kepler 1 2 3 – Konsep, Rumus, Sejarah, Contoh Soal


Latihan Soal

  • Diketahui

Diketahui

  • Nilai a dari persamaan matriks :

Nilai a dari persamaan matriks

  • Diketahui

Diketahui A+B


Sekian penjelasan artikel diatas tentang Perkalian Matriks – Invers, Transpose, Pengertian Dan Jenisnya semoga bermanfaat bagi pembaca DosenPendidikan.Com

Send this to a friend