Matriks

Baca Cepat tampilkan

Perkalian Matriks – Invers, Transpose, Pengertian Dan Jenisnya– DosenPendidikan.Com– Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuan.

Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Pengertian Matriks

Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuan Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan didekomposisikan.

Jenis-jenis matriks

Jenis-jenis matriks adalah :

Matriks baris
Matriks kolom
Matriks diagonal
Matriks identitas
Matriks nol

Operasi-operasi pada matriks

Operasi-operasi pada matriks adalah ;

Dalam penjumlahan matriks
Dalam pengurangan matriks
Dalam perkalian bilangan real (scalar) dengan matriks
Perkalian matriks
Perpangkatan matriks persegi

Baca Juga : Rumus Volume Tabung

Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linear, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan dipangkatkan.

Contoh :

Keterangan :

Jenis-Jenis Matriks

Matriks baris

Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja. Misalnya

Matriks kolom

Matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Misanya

Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak kolom dan banyak barisnya sama. Misalnya

Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 2 dan 0.

Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 0 (nol). Misalnya

Matrik identitas

Matriks identitas adalah matriks pesegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lainnya semuanya 0. Misalnya

Matriks nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0 (nol). Metriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya . Misalnya

Transpose Matriks

Jika A adalah sembarang matriks m×n, maka transpose A, dinyatakan dengan A^T, didefinisikan sebagai matriks n×m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A: yaitu, kolom pertama dari A^T adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A^T adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Amati, bahwa tidak hanya kolom dari A^T menjadi baris dari A, tetapi baris dari A^T juga menjadi kolom dari A. jadi, entri dalam baris I dan kolom j dari A^T dapat diperoleh dengan “mencerminkan” A terhadap diagonal utamanya.

Contohnya

Kesamaan Dua Matriks

Jika A+B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang di peroleh dengan menambah entri-entri B dengan entri-entri A yang berpadanan dan selisih A-B adalah matriks yang di peroleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks – matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.

Dalam notasi matriks, jika A=[a_ij] dan B=[b_ij] mempunyai ukuran yang sama, maka A=B jika dan hanya jika (A)_{ij =}(B)_ij , atau secara ekuivalen, a_ij=b_ij untuk semua i dan j.

Maka, matriks yang memiliki kesamaan adalah A dan B karena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama sedangkan yang di A dan C, B dan C merupakan matriks yang tidak memiliki kesamaan meskipun ordonya sama, tetapi ada elemen-elemen seletak yang nilainya tidak sama, maka matriks tersebut tidak sama.

Operasi-Operasi Matriks

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks A dan B, ditulis A+B, di definisikan sebagai sebuah martiks

yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B. Syarat dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Misalnya

Pada penjumlahan matrik juga berlaku sifat- sifat, apabila matrik A,B dan C berordo sama yaitu m x n.

A+B = B+A (sifat komulatif)
A+B+C = A+(B+C) (sifat asosiatif)
Unsur-unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga
A+O = O+A = A
Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A+(-A) = (-A)+A=O

Pengurangan Matriks

Lawan suatu matriks

Lawan suatu matriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks tersebut. Dapat ditulis dari matriks

Pengurangan matriks

Pengurangan matrik A dan B, ditulis A-B, didefinisikan sebagai sebuah matriks

yang di peroleh dari pengurangan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak. Karena pengurangan pada dasarnya sama dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah maka pengurangan matriks B terhadap matriks A dapat di tulis sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B, atau dapat di tulis.

Dengan –B adalah lawan matriks B. syarat agar dua matriks atau lebih dapat di kurangkan adalah matriks-matriks yang mempunyai ordo yang sama. Misalnya

Perkalian Bilangan Real (Scalar) dengan Matriks

Didefinisikan, misal A suatu matrik ber ordo m x n dan k adalah suatu scalar maka matriks kA di peroleh dari mengalikan semua elemen A dengan scalar k. Misalnya

Adalah kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien scalar

Baca Juga : Rumus Cermin Cembung

Perkalian Matriks

Perkalian matriks didefinisikan, misal A matriks berordo m x p dan B matriks berordo p x n maka A x B adalah suatu matriks

Matriks ke kolom ke-j dari AB= A[matriks dari kolom ke-j dari B]
Matriks baris ke I dari AB=[matriks baris ke I dari AB]

Apabila matriks A= 2×2 dan matriks B = 2×2 maka bagannya dapat di tulis Ordo hasil kali

maka AxB, BxC dapat di lakukan perkalian, sedangkan AxC tidak dapat di lakukan perkalian karena banyak kolom pada matriks A tidak sama dengan banyak baris matriks C atau

Apabila matriks A,B dan C dapat dikalikan atau di jumlahkan. jika k bilangan real (scalar) Maka pada perkalian matriks juga berlaku sifat- sifat :

Tidak komulatif, yaitu AxB ≠ BxA
Asosiatif, yaitu (AxB) x C = A x (BxC)
Distributif:

Distributif kiri, A x (B+C) = ( AxB) + (AxC)
Distributif kanan, (A+B) x C = (AxC) + (BxC)

Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat. IA=AI=A

Jika AB=0 belum tentu A=0 atau B=0
jika AB=AC belum tentu B=C

Jika p dan q adalah bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks, maka berlaku hubungan. (pA)(qB) = (pq)(AB)
Jika berturut turut adalah traspos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan.

Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks maka :

Contoh Soal

Jawab :

dengan kesamaan dua matriks maka didapat:

x + 2y = 4

2x – y = 3

Kemudian gunakan metode eliminasi dan subtitusi untuk mencari nilai x dan y.

jadi, deperoleh nilai x = 2 dan y = 1

Latihan Soal

Diketahui

Nilai a dari persamaan matriks :

Diketahui

Sekian penjelasan artikel diatas tentang Perkalian Matriks – Invers, Transpose, Pengertian Dan Jenisnya semoga bermanfaat bagi pembaca DosenPendidikan.Com