Permutasi dan Kombinasi

Diposting pada

Pengertian Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai “adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari.” Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Permutasi-dan-Kombinasi

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb

bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca

cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba

dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.


Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

Kartu Kotak kosong

———–      —————

a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu.Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:


  • Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

Kartu Kotak

———–      —————

a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

^ 4 pilihan: a, b, c, d


  • Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

Kartu Kotak

———–      —————

a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]

^ 3 pilihan: a, c, d


  • Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

Kartu Kotak

———–      —————

a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]

^ 2 pilihan: a, c


  • Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

Kartu Kotak

———–      —————

a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]

^ 1 pilihan: a


  • Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Kartu Kotak

———–      —————

*  *  *  *       [b] [d] [c] [a]

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang.Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak n!.


Bilangan Inversi

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi.Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah.Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

PosisiUnsurBilangan
0d3Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
1a0Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
2c1Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
3f2Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan b.
4g2Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
5e1Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
6b0Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.


Faktoradik

Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

Faktoradik 1

dan

Faktoradik 2

Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik.Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.


Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:


Diberikan sebuah untai S, tentukan:

  1. Semua permutasi dari S
  2. Semua permutasi n-elemen dari S
  3. Permutasi berikutnya setelah S
  4. Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

Jenis-Jenis Permutasi

Berikut ini terdapat beberapa jenis-jenis permutasi, terdiri atas:


  • Permutasi-k dari n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya.Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

ab  ac  ad

ba  bc  bd

ca  cb  cd

da  db  dc


Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

abc  abd  acb  acd  adb  adc

bac  bca  bad  bda  bcd  bdc

cab  cba  cad  cda  cbd  cdb

dab  dba  dac  dca  dbc  dcb

Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

Permutasi-k dari n benda


  • Permutasi dengan elemen yang identik

Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali.Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

aabc  aacb  abac  abca

acab  acba  baac  baca

bcaa  caab  caba  cbaa


Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a0 dan a1:

a0a1bc  a1a0bc  =  aabc

a0a1cb  a1a0cb  =  aacb

a0ba1c  a1ba0c  =  abac

a0bca1  a1bca0  =  abca

a0ca1b  a1ca0b  =  acab

a0cba1  a1cba0  =  acba

ba0a1c  ba1a0c  =  baac

ba0ca1  ba1ca0  =  baca

bca0a1  bca1a0  =  bcaa

ca0a1b  ca1a0b  =  caab

ca0ba1  ca1ba0  =  caba

cba0a1  cba1a0  =  cbaa

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karenaa terdiri dari 2 unsur: a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 = a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

macam unsur identik

Lebih general lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k1, k2, …,km, maka:

jika panjang untai adalah n, mengandung m

atau

atau

Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d

Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

Dalam permutasi biasa

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.


  • Permutasi siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

h  a

g      b 

f      c 

e  d

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

abcdefgh

bcdefgha

cdefghab

defghabc

efghabcd

fghabcde

ghabcdef

habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

abcdefgh

——–

^ bagian yang dipermutasikan

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak (n − 1)!.


Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan.Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.


Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.


Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan.Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}


Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.


Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.


Rumus Permutasi dan Kombinasi

Berikut ini terdapat beberapa rumus permutasi dan kombinasi, terdiri atas:


1. Rumus Permutasi

Terdiri atas:


  1. Permutasi Pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:

Permutasi Pengulangan

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.


  1. Permutasi Tanpa Pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

Permutasi Tanpa Pengulangan

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan !adalah simbol faktorial.


Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.


Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

menandakan bahwa jumlah objek

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.


2. Rumus Kombinasi

Terdiri atas:


  • Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Kombinasi tanpa pengulangan

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu.Kamu ingin membawanya ke sekolah.Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.


  • Kombinasi Pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Kombinasi Pengulangan

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat.Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda.Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.


Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal permutasi dan kombinasi, terdiri atas:


1. Contoh Soal Permutasi

Terdiri atas:


Contoh 1

Ada berapa banyak cara yang mungkin terjadi jika si Anak dipersilahkan mengambil 2 bola secara acak dalam suatu kotak yang mengandung bolah berwarna : merah, hijau dan biru. Dalam pengambilan bola, urutan tidak diperhatikan artinya tidak diizinkan tentang urutan.


Pembahasan:

Kata kuncil soal diatas (contoh.2) adalah tidak diperbolehkan urutan pengambilan. Sehingga harus kita jawab dalam bentuk kombinasi :

Merah Hijau

Merah Biru

Hijau Biru

Dengan demikian hanya terdapat tiga cara, kombinasi cara lain akan bermakna sama atau dianggap satu, seperti : Merah Hijau dengan Hijau Merah akan dianggap satu cara.


Contoh 2

Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?


Jawaban:

6P2 = 6!/(6-2)!

= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)

= 720/24

= 30 cara


Contoh 3

Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?


Jawaban:

P5 = (10-1)!

= 9.8.7.6.5.4.3.2.1

= 362880 cara


Contoh 4

Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “STMIK”?


Jawab :

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata


Contoh 5

Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?


Jawaban:

Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)

Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:

Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.


2. Contoh Soal Kombinasi

Terdiri atas:


1. Terdapat 10 orang yang lulus seleksi pada suatu perusahaan. Namun kebutuhan tenaga kerja sebanyak 4 orang. Tentukan berapa banyak cara yang dilakukan perusahaan dalam memilih 4 orang dari 10 orang lulus seleksi ?.

a. 60
b. 240
c. 210
d. 310


Pembahasan:

Diketahui :
n = 10, menyatakan jumlah yang lulus seleksi
k = 4, menyatakan  tenaga kerja yang diterima atau dipilih.

C (10,4)= 10!(10-4)!.4! = 10.9.8.7..4.3.2.1 = 504024 =210

Jawaban :c


2. Dalam sebuah sekolah telah diseleksi 5 orang  siswa yang berbakat dan mahir dalam badminton. Berapa banyaknya cara pemilihan yang mungkin jika dipilih 3 orang siswa untuk mewakili sekolah dalam turnamen badminton ?

a. 10
b. 16
c. 60
d. 15


Pembahasan

Diketahui :
n = 5, menyatakan jumlah siswa yang telah diseleksi dalam bidang olahraga badminton.
k = 3, jumlah siswa yang diutus dalam kompetensi badminton

C (5,3)= 5!(5-3)!.3! = 5.4.2!. = 202 =10

Jawaban : a


3. Misalkan ada 4 warna cat, yaitu : Merah, Kuning, Hijau dan Biru. Jika 2 warna cat dicampurkan akan membentuk warna baru. Maka akan ada berapa banyak warna baru yang diperoleh ?
a. 6
b. 12
c. 8
d. 60


Pembahasan

Diketahui :
n = 4, menyatakan jumlah warna cat (Merah, Kuning, Hijau dan Biru).
k = 2, menyatakan jumlah warna  cat yang dicampurkan

C (4,2)= 4!(4-2)!.2! = 4.3.2!. = 122 =6

Jawaban : a


4. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi ?

a. 40
b. 45
c. 20
d. 10


Pembahasan

Diketahui:
n = 10, menyatakan jumlah orang dalam suatu pertemuan
k = 2, menyatakan jumlah orang yang saling berjabat tangan

C (10,2)= 10!(10-2)!.2! = 10.9.2! = 902 =45.

Jawaban : b


Demikianlah pembahasan mengenai Permutasi dan Kombinasi – Pengertian, Rumus, Jenis dan Contoh Soal semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂


Baca Juga Artikel Lainnya:

  1. Rumus Himpunan
  2. Vektor Matematika
  3. Logaritma Adalah
  4. Rumus Persamaan Kuadrat
  5. Persamaan Nilai Mutlak
  6. Rumus Luas Segitiga
  7. Rumus Standar Deviasi
  8. Rumus Phytagoras