Persamaan Nilai Mutlak

Diposting pada

Pengertian Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan nilai mutlak adalah nilai mutlak dari angka yang dapat didefinisikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis angka tanpa perlu memperhatikan bagaimana arahnya.

Persamaan-Nilai-Mutlak

Nilai mutlak dari angka x juga dapat diartikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis angka terlepas dari bagaimana itu terjadi. Ini berarti bahwa | x | = 5 memiliki dua solusi.


Itu karena ada dua angka yang jaraknya di atas 0 adalah 5: x = -5 dan x = 5. Perhatikan gambar garis dibawah ini:

Nilai mutlak


Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar yang berada di dalam simbol nilai mutlak.


Sifat Persamaan Nilai Mutlak

Jika X merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.


Seperti yang dinyatakan dalam sifat persamaan nilai mutlak, sifat ini hanya dapat diterapkan setelah kita mengisolasi simbol nilai mutlak pada satu ruas.Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.


Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.

Pembahasan Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.

Pembahasan 1


Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai mutlak, sehingga

Pembahasan 2

Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan selesaiannya adalah {4, 10}.


Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua selesaian.


Persamaan nilai mutlak dapat muncul dari berbagai bentuk.Tetapi dalam menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak.


Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan himpunan selesaian dari persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.

Pembahasan Dengan mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan

Pembahasan 3

Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.


Untuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan sifat perkalian persamaan nilai mutlak untuk menyelesaikannya.


Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Jika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.

Perhatikan bahwa jika A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|. Secara umum, sifat tersebut berlaku untuk sembarang konstanta A.


Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.


Pembahasan Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru dapat mengaplikasikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak.

Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak


Contoh Persamaan Nilai Mutlak

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

Contoh Soal 1


Pembahasan:

Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri.


1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

(*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 – 5 = -2

(**) x + 5 = -3, maka x = -3 – 5 = -8

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}


2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

(*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 – 3
2x = 2  <==>  x = 1

(**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3
2x = -8  <==> x = -4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}


3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1.Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.

Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1


Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1

Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-1

Persamaan mutlak dapat ditulis:

(x + 1) + 2x = 7
3x = 7 – 1
3x = 6
x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)


(**) untuk x < -1

Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(x + 1) + 2x = 7
-x – 1 + 2x = 7
x = 7 + 1
x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)


Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.


4.  Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.

Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3


Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3

Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-4/3

Persamaan mutlak dapat ditulis:

(3x + 4) = x – 8
3x – x = -8 – 4
2x =-12
x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)


(**) untuk x < -4/3

Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(3x + 4) = x – 8
-3x – 4 = x -8
-3x – x = -8 + 4
-4x = -4
x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)


Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.


Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini:

Contoh Soal 2


Pembahasan:

1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.

-9 < x+7 < 9

-9 – 7 < x < 9 – 7
-16 < x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}


2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.

(*) 2x – 1 >=  7
2x  >=  7 + 1
2x  >= 8
x  >= 4


(**) 2x – 1 <= -7
2x   <= -7 + 1
2x   <= -6
x   <= -3


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}


3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.


(x + 3)2 <= (2x – 3)2

(x + 3)2 – (2x – 3)2 <= 0

(x + 3 + 2x – 3) – (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))

x (6 – x) <=0


Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6

Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

Mari selidiki menggunakan garis bilangan

garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.


4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.

Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.

Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.

3x + 1 dan 2x + 4

Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.

batasan-batasan nilai


Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.

1. Untuk batasan x >= -1/3  ……(1)
(3x + 1) – (2x + 4) < 10
3x + 1 – 2x- 4 < 10
x- 3 < 10
x < 13 …….(2)


Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13


2. Untuk batasan -2<= x < -1/3  ……(1)
-(3x + 1) – (2x + 4) < 10
-3x – 1 – 2x – 4 < 10
-5x – 5 < 10
-5x < 15
-x < 3
x > 3 …….(2)


Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.


3. Untuk batasan x < -2  ……(1)
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-3x – 1 + 2x + 4 < 10
-x + 3 < 10
-x  < 7
x > -7 …….(2)


Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.


Demikianlah pembahasan mengenai Persamaan Nilai Mutlak – Pengertian, Sifat dan Contoh Soal semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂


Baca Juga Artikel Lainnya:

  1. Angka Romawi
  2. Identitas Trigonometri
  3. Barisan dan Deret Aritmatika
  4. Rumus Prisma
  5. Jaring Jaring Balok
  6. Jaring-Jaring Kubus
  7. Transformasi Geometri
  8. Integral Trigonometri
  9. Rumus Phytagoras
  10. Rumus Standar Deviasi
Mungkin Dibawah Ini yang Kamu Butuhkan