Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan Nilai Mutlak – Rumus, Sifat, Konsep & Contoh Soal – DosenPendidikan.Com– Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak


Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

Jika a < b maka:

a + c < b + c
a – c < b – c


Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

  • a.c < b.c
  • a/b < b/c

Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

  • a.c > b.c
  • a/c > b/c

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2


Baca Juga : Rumus Deret Geometri


Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2

Penyelesaian:

  1. Ruas kanan dibuat menjadi nol
  2. Faktorkan
  • Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol

Gambar garis bilangannya

  1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •
  2. Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °
  • Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
  • Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

Tentukan himpunan penyelesaian

→ Jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)
→ Jika tanda  pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:

(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4×2 – 4x + 1 ≥ 5×2 – 5x – 3x + 3 – 7
4×2 – 4x + 1 – 5×2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1

Garis bilangan:

Menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
Jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

Karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
Karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}


Baca Juga : Integral Trigonometri


Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2

Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat

Contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0

Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3


Garis bilangan:

  • Menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
  • Jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
  • Karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
  • Kkarena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
  • Selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
  • Karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}


Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut

Penyelesaian:

  • Ruas kanan dijadikan nol
  • Samakan penyebut di ruas kiri
  • Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
  • Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
  • Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4
  • Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval


Contoh 1:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3

Garis bilangan:

→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut


Baca Juga : Keliling Lingkaran


Contoh 2:

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1

Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3

Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real

(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}


Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ Variabelnya berada dalam tanda akar

Penyelesaian:

  • Kuadratkan kedua ruas
  • Jadikan ruas kanan sama dengan nol
  • Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
  • Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh 1:

Kuadratkan kedua ruas:

x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0

Semua dikali –1:

2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4


Syarat 1:

x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1


Syarat 2:

x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0

Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}


Baca Juga : Belah Ketupat


Contoh 2:

Kuadratkan kedua ruas:

x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4

Semua dikalikan –1
2x > 4
x > 2


Syarat:

x2 – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0

Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}


Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)

Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:

Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0


Contoh 1:

|2x – 3| ≤ 5

berarti:

–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8

Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4


Contoh 2:

|3x + 7| > 2

berarti:

3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3


Baca Juga : Bilangan Prima Adalah


Contoh 3:

|2x – 5| < |x + 4|

Kedua ruas dikuadratkan:

(2x – 5)2 < (x + 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0    (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0

Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}


Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1

Kedua ruas dikuadratkan:

(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0

Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0

x = 2/5 atau x = 4/3

Syarat:

x + 1 ≥ 0
x ≥ –1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}


Contoh 5:

|x – 2|2 – |x – 2| < 2

Misalkan |x – 2| = y
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0

Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1

Garis bilangan:

Artinya:

–1 < y < 2
–1 < |x – 2| < 2

Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku

|x – 2| < 2

Sehingga:

–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4


Pertidaksamaan Dengan Harga Mutlak


Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.


Contoh. 1

(a) x ≠ y

(b) x < y

(c) 2x ≥ 5

(d) x2 – 5 + 6 ≤. 6

(e) │1 – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).


Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.


Contoh :

(1). (x – 1)2 ≥  0

(2). X + 2 > x + 1

(3). -3x2 – 7x – 6 < 0

(4). -(x – 1)2 ≤ 0

(5).│3x–4│   > – │ -1│

Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.


Contoh :

(1). X2 + 2 ≤ 0

(2). X + 2 ≥ x + 3

(3). (x – 2)2  < 0

(4).│2x – 3│  > -│-x│


Sifat-sifat Pertidaksamaan

Teorema 4

Jika P(x), Q(x), dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x) adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

  1. P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)
  2. P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

  • P(x). R(x) > Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

demikian pula untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan ≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas.


Pertidaksamaan Harga Mutlak

Teorema 5

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.

Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua bagian, yaitu :

(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.

(2). Jika -a < x < a, maka   │x│ < a


Bukti :

Untuk tiap x € R,│x│  ≥ 0.

Karena a > 0, maka -a < 0

Jadi untuk tiap x, -a <│x│  .

Sekarang kita pandang dulu untuk x 0.


Dalam hal ini,│x│ = x.

Karena -a < │ x │,│x│  = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti).

Sekarang kita pandang untuk x < 0

Dalam hal ini │ x│= -x.

Karena -a <  │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.

Kalikan dengan (-1), diperoleh

a> x > -a atau -a < x < a (terbukti).


Teorema 6

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka│x│> a, jika dan hanya jika x < -a atau x > a.

Buktinya dipersilakan kepada para pembaca yang mempelajarinya untuk

mencobanya.


Contoh :

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan│ x + 1│< 3.

Penyelesaian :

Menurut teorema 5,

│ x + 1│< 3.

Jika dan hanya jika

-3 < x + 1 < 3

Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya

{ x / -4 < x < 2 }

Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan :

{ x / x > -4 } ∩ {  x / x < 2 }.


Teorema 7

Untuk setiap R, x ≤ │x│.

Bukti : Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi)

Jika x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0

Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x


Teorema 8

Jika x  R, y  R, maka

(1). │x – y│≥│x│-│y│

(2). │x +y│≤ │x│+│y│


Demikian penjelasan artikel diatas semoga bermanfaat bagi pembaca setia kami…Terimakasih…

Send this to a friend