Deret Geometri – Rumus, Contoh Soal, Tak Terhingga Dan Limit– DosenPendidikan.Com– Geometri adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran, posisi relatif gambar, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli ilmu ukur. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sedini Thales (abad 6 SM).
Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik oleh Euclid, yang dibantu oleh geometri Euclid, menjadi standar selama berabad-abad. Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan isi, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern.
Bidang astronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri dan astronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dari Quadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai.
Rumus Deret Geometri
Barisan Dan Deret Geometri
ini :
Selanjutnya, hasil bagi dua suku berturutan adalah
Yang tidak bergantung pada n. Dengan demikian deret yang diketahui merupakan deret geometri dengan p = 3. Tiga suku pertama adalah
Baca Juga : Rumus Volume Tabung
Contoh !
Diketahui barisan geometri 2, 16, 128, 1024, …. Di antara dua suku disisipkan dua suku baru sehingga membentuk barisan geometri baru.
- Tentukan rumus suku ke n dari barisan baru ini
- Tentukan rumus suku ke n dari deret yang dibentuk dari barisan baru.
Jawab :
- Suku pertama barisan baru ini sama dengan barisan lama sedangkan nomor suku yang lain berubah. Perhatikan bahwa suku kedua (u2) dari barisan lama menjadi suku ke empat () dari barisan baru. Jika p dan pl masing – masing merupakan pembanding barisan lama dan baru, maka
yang memberikan pl = 2. Perhatikan bahwa pembanding barisan yang lama adalah 8.
Jadi rumus suku ke n adalah
Notasi Sigma, Barisan Bilangan Dan Deret, Induksi Matematika
- Sedangkan rumus suku ke n dari deret adalah
Contoh :
Diketahui bahwa 3+32+33+ … +3n = 3279. Tentukan n.
Jawab:
Perhatikan bahwa ruas kiri
3+32+33+ … +3n = 3279
Merupakan suku ke n dari deret geometri. Sehingga
Dengan menyederhanakan bentuk ini diperoleh
Dengan demikian
3n = 2187 = 37
Jadi n = 7
Baca Juga : “Listrik Dinamis” Pengertian & ( Rumus – Contoh )
Latihan 7
- Diketahui barisan geometri, tentukan tiga suku pertama deret geometrinya
- Pada barisan geometri terdapat lima besaran yaitu a, p, n, un dan Sn. tentukan yang tidak diketahui.
- Dalam deret geometri diketahui S2 = 4 dan S4 = 40. Tentukan tiga suku pertama dan barisan geometrinya.
- Carilah n jika ..
Diketahui barisan geometri u1, u2, …… dengan
u1 + u2 + … + u6 = 189
u3 + u4 + … + u8 = 756
Tentukan tiga suku pertama. (Catatan : Ada dua kemungkinan)
- Diketahui barisan geometri yang dikelompokkan menjadi
(1), (2,4,8), (16,32,64,128,256) , …..
Dengan banyaknya bilangan dalam kelompok disusun berdasarkan barisan aritmatika
- Tentukan banyaknya suku di kelompok ke n
- Tentukan suku pertama di kelompok ke n
- Tentukan jumlah bilangan di kelompok ke n
- Misalkan Sn suku ke n dari deret geometri. Buktikan bahwa
- Misalkan Sn adalah suku ke n dari deret geometri. Buktikan bahwa
- Diketahui barisan geometri
- Carilah rumus Sn yaitu suku ke n dari deret geometri.
- Hitung n terkecil sehingga Sn – 1| < 0,0001.
Diketahui barisan geometri u1 = a,u2 = ap,u3 = ap2, …. Kemudian dibentuk barisan P1, P2, P3, …. dengan aturan P1 = u1, P2 = u1u2,P3 = u1u2,u3, …. Tentukan rumus Pn Dinyatakan dalam a, p dan n.
Baca Juga : “Listrik Statis” Pengertian & ( Konsep Dasar – Contoh – Rumus )
Menyelesaikan Soal Deret Geometri Tak Hingga
Berapakah jumlah 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …. Ada beberapa cara untuk menghitung ini, salah satunya adalah
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. = 1,
Tetapi kita juga dapat menghitung.
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … = 0
Menghitung jumlah dari suatu bentuk tak berhingga ternyata mempunyai masalah diantaranya hasil jumlah ini tidak tunggal. Jumlah yang tidak tunggal itu disebut deret (tak hingga) divergen. Kita hanya akan mempelajari bentuk deret (tak hingga) yang konvergen atau mempunyai hanya satu jumlah.
Penjumlahan deret yang konvergen pun memberikan keraguan. Misalkan kita harus berangkat dari titik A ke titik B. Orang berfikir bahwa sebelum mencapai B orang harus menempuh dari jarak. Walaupun sudah sampai di titik tengah orang harus menempuh dari sisi jarak yang ada. Sampai saat itu kita baru akan sampai di . Kemudian, sebelum sampai di B kita masih harus menempuh dari sisi jarak, demikian seterusnya.
Notasi Sigma, Barisan Bilangan Dan Deret, Induksi Matematika
Sampai dengan langkah ke n, kita telah menempuh
Dalam hal ini tidak ada n sehingga
Baca Juga : Asam Asetat – Pengertian, Rumus, Reaksi, Bahaya, Sifat Dan Penggunaannya
Ini berarti dengan langkah yang berhingga kita tak pernah sampai di B. Oleh karena itu Zeno (450 SM) seorang ahli matematika dan filsafat mengatakan bahwa gerak itu tidak ada. Masalahnya pada saat itu adalah konsep ketakberhinggaan. Jika kita menerima konsep tak berhinggaan, maka kita harus memberi arti bentuk
Karena gerak itu ada, maka jumlah tak berhingga ini harus sama dengan satu. Kita akan mengatakan bahwa limit dari jumlah tersebut sama dengan 1. Kita ingat bentuk umum dari deret geometri adalah
Berapakah jumlah dari
a + a + ar2 + ….
Pertanyaan ini sama dengan berapakah limn→∞ Sn. Jawabnya tergantung dari :
limn→∞ rn
Jika r > 1, maka nilai r2, r3, makin membesar. Sehingga jumlah dari Sn juga akan makin besar , tidak mungkin menuju ke suatu bilangan tertentu. Demikian pula jika r < -1, maka nilai r2, r3, …. mempunyai nilai mutlak yang makin besar tetapi mereka berganti tanda antara positif dan negative.
Jika -1 < r < 1, maka nilai r2, r3, … makin kecil menuju nol. Jadi
limn→∞ rn = 0 jika -1 < r < 1.
Selidiki nilai limn→∞ rn jika r = -1 atau r = 1.
Selanjutnya,
Dalam bentuk limit, jumlah
Baca Juga : Rumus Cermin Cembung
Menyelesaikan Soal Deret Geometri Tak Hingga
Sekian penjabaran artikel diatas tentang Deret Geometri – Rumus, Contoh Soal, Tak Terhingga Dan Limit semoga bermanfaat bagi semua pembaca DosenPendidikan.Com
