Rumus Himpunan

Oleh Diposting pada

Penggunaan himpunan dalam Matematika dimulai pada Akhir abad ke-19. Orang pertama yang menemukan konsep himpunan adalah Georg Cantor (1845-1918) seorang ahli Matematika berkebangsaan Jerman. Tahun 1920 konsep himpunan digunakan secara luas dalam beberapa cabang matematika.

Rumus-Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar  istilah kelompok, kumpulan, gerombolan, paguyuban, regu, dan lain-lain. Istilah-istilah tersebut dalam matematika disebut himpunan.

Pengertian Himpunan

Baca Cepat tampilkan

Himpunan adalah kumpulan benda (objek) yang didefinisikan secara jelas. Maksud didefinisikan secara jelas adalah diketahui ciri khas yang dihimpunnya sehingga dapat ditentukan bahwa suatu objek merupakan anggota himpunan atau bukan. Benda-benda (objek) tersebut dapat berupa orang, binatang, buah-buahan, bilangan dan lain sebagainya.

Contoh-contoh himpunan adalah sebagai berikut :

  1. Kumpulan siswa kelas XA SMA Negeri 2 Kotabaru yang gemar menari.
  2. Kumpulan bilangan asli yang kurang dari 5.
  3. Kumpulan huruf hidup dalam abjad Latin.
  4. Kumpulannama-nama bulan dalam satu tahun pada tahun Masehi.

Contoh-contoh bukan himpunan adalah sebagai berikut :

  • Kumpulan anaka-anak kecil.
  • Kumpulan anak-anak bodoh.
  • Kumpulan bunga-bunga yang indah.
  • Kumpulan mahasiswa STKIP yang pandai.

Contoh-contoh ini bukan merupakan himpunan, Karena anggota himpunannya tidak didefinisikan secara jelas. Dan jika dalam contoh tersebut terdapat kata sifat, juga bukan merupakan himpunan kecuali kata sifat itu mengandung ciri / kuantitas.

Rumus Himpunan

Berikut diberikan rumus-rumus himpunan ( tidak disertai bukti ) berlaku untuk setiap X, Y, Z:

Rumus 1

X X     →     sifat refleksif

X Y  &  Y X    X = Y     →     sifat anti-symetris

X Y  &  Y Z    X Z     →     sifat transitif

Rumus 2

XX = X dan XX = X     →     sifat idempoten

XY = YX dan XY = YX     →     sifat komutatif

(XY) Z = X(YZ) dan (XY)Z = X (YZ)     →     sifat assosiatif

X (YZ) = (XY)  (XZ) dan

X (YZ) = (XY)(XZ)     →     sifat distributif

Rumus 3

X (XY)   dan  Y (XY)

( XY ) X  dan  (XY) Y

X Z & Y Z     XY  Z

Z X & Z Y     Z (XY)

Rumus 4

X Y    XY = Y    XY = X

Rumus 5 (Rumus de Morgan )

( XY )C = XC  YC

( XY )C = XC  YC

Rumus 6

( XC ) C = X

           C = S

SC  =

Rumus 7

X S

X = dan SX = X

X = X dan SX = S

XXC = dan XXC = S

Rumus 8 ( Hukum Absorpsi)

X (XY) = X (XY)

Rumus 9

X – Y = X  YC

Cara Membentuk Himpunan

Suatu himpunan diberi lambang dengan sebuah huruf kapital (huruf besar) misalnya A, B, C, D, dan seterusnya. Penulisan suatu himpunan demhgan kurung kurawal buka dan kurung kurawal tutup yaitu “{ }”. Penulisan anggota-anggota suatu himpunan dipisahkan dengan tanda koma (,).

Contoh :

  1. A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5

A = himpunan bilangan asli kurang dari 5

A = { bilangan asli kurang dari 5 }

Himpunan ini ditulis A = { 1, 2, 3, 4 }.

  1. B adalah himpunan huruf hidup dalam abjad Latin

B = himpunan huruf hidup dalam abjad Latin

B = { huruf hidup dalam abjad Latin }

Himpunan ini ditulis B = { a, i, u, e, o }.

Anggota Himpunan

Berikut ini terdapat beberapa anggota himpunan, terdiri atas:

  1. Menentukan Anggota Himpunan

Anggota disebut juga Elemen / unsur dengan lambang “Γ ( dibaca anggota ) sedangkan lambang “Ï” dinyatakan bukan anggota.

Contoh :

  • p adalah anggota A ditulis p Î A

q bukan anggota A ditulis q Ï A

  • H = { hari yang berawalan S }

Senin Π H

Selasa Î H

Rabu  Ï  H

Kamis Ï H

Jumat Ï  H

Sabtu Î H

Minggu Ï H

Jadi, H = { senin, selasa, sabtu }

  1. Mengenal Berbagai Bilangan
  • Himpunan Bilangan Asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

  • Himpunan Bilangan Cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

  • Himpunan Bilangan Genap

N = { . . . , -4, -2, 0, 2, 4, . . .}

  • Himpunan Bilangan Ganjil

L = { . . . , -3, -1, 1, 3, 5, . . .}

  • Himpunan Bilangan Prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, . . .}

  • Himpunan Bilangan Bulat

B = { Positif, Nol, Negatif }

  • Himpunan Bilangan Real (Nyata)

R = { . . .2/3 . . . 1,25. . . (termasuk bilanagan Desimal)

  • Himpunan Bilangan kuadrat

K = { 02, 12 , 22 , 32 , 42 , . . .} atau { 0, 1, 4, 9, 16, . . .}

  1. Menentukan Banyak Anggota Himpunan

Banyak anggota suatau himpunan ada yang dapat dibilang. Himpuanan yang anggotanya dapat dibilang disebut himpunan berhingga. Himpunan yang anggotanya tidak dapat dibilang disebut himpunan tak berhingga. Jika P suatu himpunan berhingga, banyaknya anggota P dinyatakan sebagai n(P).

Contoh :

  • B = { Bilangan bulat antara 3 dan 11 }

    = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

n(B)  =  7

  • G = { Bilangan Genap }

    = { . . . , -4, -2, 0, 2, 4, . . .}

n(G) = ∞

  • P = { Bilangan Prima antara 13 dan 15 }

   = { }

n(P) = 0

  1. Cara Menyatakan Suatu Himpunan

Ada 4 cara untuk menyatakan suatau himpunan yaitu dengan kata-kata, dengan mendaftar, dengan notasi, dan dengan diagram venn.

  • Dengan kata-kata

Contoh :A himpunan bilangan asli antara 4 dan 10

  • Dengan mendaftar

Contoh : A = { 5, 6, 7, 8, 9 }

  • Dengan notasi

Contoh : A = { x|4 < x < 10, x Є A }

  • Dengan Diagram Venn

Diagram venn merupakan cara untuk menyatakan himpunan dengan gambar (diagram). Pada diagram venn berlaku aturan berikut :

  1. Setiap anggota himpunan dinyatakan dengan noktah (titik)
  2. Nama anggota ditulis di dekat noktah
  3. Jika anggota himpunan banyak noktah-noktahnya tidak perlu digambar
  4. Semesta pembicaraan digambarkan dengan persegi panjang dan diberi nama S. Biasanya S diletakkan di sudut kiri atas persegi panjang
  5. Himpunan yang di bicarakan digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup yang lain.

Contoh :

  • S himpunan bilangan prima

A = { 2, 3, 5, 7, 11 }

S himpunan bilangan prima

Jenis-Jenis Himpunan

Berikut ini terdapat beberapa jenis-jenis himpunan, terdiri atas:

  1. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, lambangnya { } atau  ɸ

Contoh : D = { bilangan prima antara 5 dan 7 }

= { }

  1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggoat, lambangnya huruf S yang artinya semesta atau U yang artinya Universal.

Contoh :

  1. A = { 2, 3, 5, 7 }

S = { Bilangan Prima }

  • L = { Bumi, Mars, Venus }

S = { x| x adalah nama-nama planet }

  1. Himpunan Bagian

Himpunan bagian adalah himpunan dimana A merupakan himpunan bagian dari B jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Lambangnya subset Ì

Contoh :

  1. A = { 2, 3, 4, 5, 6 }

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A Ì B = B É A

  1. Cara Menentukan Himpunan Bagian

Rumus yang digunakan yaitu 2n untuk mengetahui banyaknya anggoata himpunan.

Contoh :

  1. F = { 1, 2, 3 }

Diketahui : n = 3

23 = 8

a) 0 Anggota

{ }

b) 1 Anggota

{ 1 }, { 2 }, { 3 }

c) 2 Anggota

{ 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }

d) 3 Anggota

{ 1, 2, 3 }

Irisan dan Gabungan

a. Irisan

Irisan atau intersection adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota A dan juga Menjadi anggota B. Lambangnya Ç secara matematika irisan himpunan A dan B didevinisian A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

Contoh :

  1. Jika A adalah himpunan faktor dari 6 dan B adalah himpunan lima bilangan prima yang pertama

Maka, A = { 1, 2, 3, 6 }

B = { 2, 3, 5, 7, 11 }

A Ç B =  { 2, 3 }

Diagram Venn

Diagram Venn

b. Gabungan

Gabungan adalah himpunan semua objek yang merupakan anggota A atau anggota B. Lambangnya È secara matematika A È B didefinisikan sebagai { x | x Î A dan x Î B}.

Contoh :

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 4, 5, 6 }

A È B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Diagram Venn

Diagram-Venn

c. Sifat- sifat Himpunan

  1. Sifat Komulatif

A Ç B = A Ç A dan A È B = B È A

  1. Sifat Asosiataif

A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C  dan

A È ( B È C ) = ( A È B ) È C

  1. Sifat Distributif

A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C)

A È ( A Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )

Contoh Soal Himpunan

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal himpunan, terdiri atas:

Contoh Soal 1

Misalkan diketahui himpunan-himpunan U, A,B,C :

U={a,b,c,d,e,f,g}

A={a,b,c,d,e}

B={a,c,e,g}

C={b,e,f,g}

Tentukan :

  1. AÈC
  2. BÇA
  3. C-B
  4. B’
  5. A’-B
  6. B’ ÈC
  7. (A-C)’
  8. C’ ÇA
  9. (A-B’)’
  10. (A ÇA’)’

Jawaban:

U={a,b,c,d,e,f,g}

A={a,b,c,d,e}

B={a,c,e,g}

C={b,e,f,g}

  1. AÈC  ={a,b,c,d,e,f,g}=U
  2. BÇA ={a,c,e}
  3. C–B={b,f}
  4. B’ ={b,d,f}
  5. A’–B ={f}

U={a,b,c,d,e,f,g}

A={a,b,c,d,e}

B={a,c,e,g}

C={b,e,f,g}

  1. B’ ÈC ={b,d,e,f,g}
  2. (A-C)’ = {b,e,f,g}
  3. C’ ÇA = {a,c,d}
  4. (A-B’)’ = {b,d,f,g}
  5. (A ÇA’)’ = U

Contoh Soal 2

Diketahui diagram Venn :

Diketahui diagram Venn

Lakukan arsir pada himpunan-himpunan berikut :

  1. V Ç W
  2. W’
  3. W–V
  4. V’ ÈW
  5. A’–W’

Jawaban:

  1. V Ç W (arsir kotak)

V Ç W (arsir kotak)

  1. W’ (arsir miring)

W’ (arsir miring)

  1. W-V (arsir miring)

W-V (arsir miring)

  1. V’ÈW (arsir miring)

V’ÈW (arsir miring)

  1. VÇW’ (arsir miring)

VÇW’ (arsir miring)

  1. V‘-W’ (arsir miring)

V‘-W’ (arsir miring)

Demikianlah pembahasan mengenai Pengertian Zigot Serta Pembentukan Dan Fungsinya semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂

Baca Juga Artikel Lainnya:

  1. Logaritma Adalah
  2. Persamaan Nilai Mutlak
  3. Identitas Trigonometri
  4. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
  5. Persamaan Linear Satu Variabel
  6. Persamaan Linear Dua Variabel