Rumus Interpolasi

Diposting pada

Di dalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitikyang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya.

Rumus-Interpolasi

Masalah umum interpolasi adalah menjabarkan data untuk fungsi dekatan, dan salah satu metode penyelesaiannya dinamakan Metoda prinsip Substitusi.Dalam mata kuliah metode numerik ada materi Interpolasi linear dan kuadratik. Materi ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.


Apabila y = f (x) adalah suatu fungsi dengan nilai-nilai :

Apabila y = f (x)


suatu fungsi dengan nilai-nilai


Dan jika Φ (x) adalah fungsi sederhana sembarang sedemikian rupa sehingga untuk variable xo, xi, … …, xn memberikan nilai yang hampir sama dengan f (x), maka bila f (x) digantikan oleh Φ (x) pada interval yang diketahui, hal ini disebut proses interpolasi dan fungsi Φ (x) adalah rumus interpolasi untuk fungsi.


Fungsi Φ (x) dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan. Apabila Φ (x) dinyatakan sebagai fungsi polinomial P (x), proses disebut interpolasi polinomial atau parabolik, sedangkan bila Φ (x) dinyatakan dalam persamaan fungsi trigonometri, proses disebut interpolasi trigonometri. Bila Φ (x) dinyatakan dalam fungsi eksponensial, polynomial Legendre atau fungsi Bessel atau bentuk fungsi spesifik lainnya, maka pemilihan bentuk fungsi tersebut didasarkan pada anggapan atau perilaku data yang dianggap cenderung mempunyai pola fungsi-fungsi tersebut.


Pengertian Interpolasi

Interpolasi adalah suatu teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Interpolasi sendiri terbagi menjadi beberapa jenis berdasarkan dengan fungsi dan cara penginterpolasiannya.


Rumus Interpolasi

Rumus Interpolasi


Metode Interpolasi

Berikut ini terdapat 4 metode interpolasi, terdiri atas:


  1. Interpolasi Linier

Interpolasi linier merupakan algoritma matematika yang dapat diterapkan untuk menaksir titik harga tengahan melalui suatu garis lurus pada setiap dua titik masukan yang berurutan. Interpolasi ini merupakan polinomial tingkat pertama dan melalui suatu garis lurus pada setiap dua titik masukan yang berurutan. Dua titik masukan tersebut digunakan untuk menaksir harga-harga tengahan diantara titik-titik data yang telah tepat. Metode yang paling sering digunakan untuk maksud ini adalah interpolasi polinomial.

Interpolasi-Linier
Kurva untuk Interpolasi Linier

Adapun persamaan dari  garis lurus tersebut adalah sebagai berikut:

Persamaan-Interpolasi-Linier


Untuk menentukan nilai dari interpolasi tersebut, dapat digunakan algoritmatika pengerjaan seperti dibawah ini:

  • Tentukan dua titik yang akan dicari penyelesaiannya, dicontohkan sebagai titik P1 (x1,y1) dan P2(x2,y2).
  • Lalu tentukan titik tengah dari kedua titik diatas, contohnya titik X sebagai titik tengahnya.
  • Hitung nilai Y dengan rumus diatas.
  • Tampilkan nilai titik yang baru.

  1. Interpolasi Kuadratik

Interpolasi kuadratik sebenarnya hampir sama dengan interpolasi linier, namun interpolasi ini menggunakan berpangkat2 dengan menggunakan 3 titik pada pembentukan sebuah garisnya. Banyak penggunaan interpolasi linier tidak maksimum pada penggunaannya saat digunakan pada fungsi yang berpangkat dua, sehinggga interpolasi kuadratik ini pun ada agar fungsi dengan pangkat 2 mampu terselesaikan dan dapat dicari titik barunya dengan efektif.

Interpolasi-Kuadratik
Kurva untuk Interpolasi Kuadratik

Dari gambar diatas telihat bahwa pada interpolasi ini digunaakan tiga titik, yaitu

P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) dan P3 (x3, y3)

Sedangkan nilai Q sendiri adalah nilai tengah dari titik yang ada, adapun untuk mencari titik Q(x,y)  tersebut dapat diicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

Rumus-Interpolasi-Kuadratik


Adapun untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan interpolasi kuadratik dapat dikerjakan dengan menggunakan algoritma pengerjaan sebagai beikut :

  1. Tentukan tiga titik yang akan dicari penyelesaiannya, dicontohkan sebagai titik P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) dan P3 (x3, y3)
  2. Lalu tentukan titik tengah dari kedua titik diatas, contohnya titik P4(x,y) sebagai titik tengahnya.
  3. Hitung nilai Y dengan rumus diatas.
  4. Tampilkan nilai titik yang baru.

  1. Interpolasi Polinomial

Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1 (x1, y1), P2 (x2, y2), P3 (x3, y3), …, PN (xN, yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:

polynomial pangkat n-1

Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:

Persamaan-Interpolasi-Polinomial


Adapun algoritma untuk mengerjakan soal-soal dari interpolasi polinom adalah sebagai berikut :

  • Menentukan jumlah titik N yang diketahui.
  • Memasukkan titik-titik yamg diketahui Pi=(xi,yi) untuk i=1,2,3,…..,N.
  • Menyusun augment matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut :

Menyusun augment matrik

  • Menyelesaikan persamaan simultan dengan augment matriks diatas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/jordan.

  • Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan dia atas.

Menyusun koefisien fungsi polynomial

  • Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui.
  • Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan

Menghitung nilai y dari fungsi polynomial

  • Menghasilkan nilai (x,y)

  1. Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.


Misalkan fungsi y (x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sebagai berikut :

Rumus-Interpolasi-Lagrange


Algoritma Interpolasi Lagrange :

  • Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui
  • Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,…,N
  • Tentukan x dari titik yang dicari
  • Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange

Hitung nilai y dari titik yang dicari

  • Tampilkan nilai (x,y)

Contoh Soal Interpolasi

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal interpolasi, terdiri atas:


  • Contoh Interpolasi Linier

Cari nilai y untuk titik x=2.1 yang berada diantara titik(1,1.5) dan(3,2.5)


Jawab:

P1 (1,1.5) dan P2(3,2.5)

x=2.1


Pembahasan Interpolasi Linier


Penyelesaian Interpolasi Linier

Jadi ditemukan titik terbarunya adalah P3 (2.1,2.5).


  • Contoh Interpolasi Kuadratik

Cari nilai y untuk titik x=2.5 yang berada  diantara titik(1,5), (2,2) dan (3,3)


Jawab:

P1 (1,5), P2 (2,2) dan P3 (3,3)

x=2.5


Pembahasan Interpolasi Kuadratik


Penyelesaian Interpolasi Kuadratik

Sehingga didapatkan nilai dari titik baru adalah P4 (2.5 , 2)


  • Contoh Interpolasi Polinomial

Cari nilai y untuk titik x=3 yang berada diantara Titik-titik (3.2,22), (2.7,17.8), (1,14.2), (4.8,38.3) dan (5.6,51.7)

x = 3.2 → a (3.2)3 + b (3.2)2 + c (3.2) + d = 22

x = 2.7 → a (2.7)3+ b (2.7)2 + c (2.7) + d = 17.8

x = 1 → a (1)3 + b (1)2+ c (1) + d = 14.2

x = 4.8 → a (4.8)3 + b (4.8)2+ c (4.8) + d = 22


Didapatkan:

a = -0.5275

b = 6.4952

c = -16.117

d = 24.3499

Sehingga persamaan polynomialnya menjadi:

persamaan polynomialnya

Untuk x = 3 didapatkan nilai y = 20.212


Penyelesaian Interpolasi Polinomial

Titik terbaru yang didapat adalah (3,20.212).


  • Contoh Interpolasi Lagrange

Contoh Interpolasi Lagrange


Yang berkorespondensi dengan y = 10log x adalah

Yang berkorespondensi


Carilah 10log 301 untuk menghitung y(x) = 10log301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi

Penyelesaian Interpolasi Lagrange


Demikianlah pembahasan mengenai Rumus Interpolasi – Pengertian, Metode, Persamaan, Algoritma dan Contoh Soal semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂


Baca Juga Artikel Lainnya:

  1. Permutasi dan Kombinasi
  2. Rumus Himpunan
  3. Vektor Matematika
  4. Logaritma Adalah
  5. Rumus Persamaan Kuadrat