Rumus Persamaan Kuadrat

Diposting pada

Pada makalah ini, kita akan mempelajari tentang rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier untuk menggambarkan fungsi kuadrat. Maka dari itu, kami membuat makalah ini bertujuan untuk mempelajari lebih dalam tentang persamaan kuadrat dan persamaan linier yang akhir-akhir ini mungkin sudah tidak diminati oleh para mahasiswa. Apalagi dengan kemajuan teknolagi zaman sekarang. Para mahasiswa hanya ingin yang serba instant dan tanpa menguras otak.

Rumus-Persamaan-Kuadrat

Dalam makalah ini kami akan mengupas berbagai rumus dari persamaan kuadrat dan persamaan linier yang dipakai untuk menyelesaikan berbagai soal yang berhubungan dengan persamaan kuadrat dan persamaan linier. Selain itu, kami juga sudah membuat contoh soal beserta pembahasannya, dengan begitu pembaca dapat mengerti cara-cara yang ditempuh untuk memecahkan persoalan persamaan kuadrat.


A. Persamaan Kuadrat


Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Persamaan yang berbentuk Β disebut persamaan kuadrat atau persamaan derajat dua dalam x. Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah Β dengan Β (bilangan real) dan. Jika Β maka persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat.


Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu:


  1. Pemfaktoran

Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu:

Jika maka Β atau

Contoh:

Tentukan Hp dari

Jawab:

x = 5 atau x = 3 Hp-nya adalah {3, 5}


  1. Melengkapi Kuadrat Sempurna

dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk Β terlebih dahulu dirubah menjadi bentuk prinsip yang digunakan untuk menyelesaikan dengan cara tersebut adalah:

  1. Jika, maka mempunyai 2 akar real yaitu
  2. Jika, maka mempunyai 1 akar real yaitu
  3. Jika, maka tidak mempunyai akar real

Contoh:

Tentukan Hp dari

Jawab:

Melengkapi Kuadrat Sempurna


  1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat

Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat


Contoh:

Carilah Hp dari dengan menggunakan rumus


Jawab:

Pembahasan Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat


Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadratdapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai pengganti tersebut mengubah kalimat terbuka (persamaan kuadrat) menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Beberapa cara untuk menyelesaikan atau menemukan akar-akar dari persamaan kuadrat diantaranya dengan cara berikut.


  • Pemfaktoran

Jika dapat difaktorkan, maka akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan sifat;

Jika p, q R dan berlaku pq = 0, maka p = 0, atau q = 0


Ingat kembali :

π‘Ž2 + 2π‘Žπ‘ + 𝑏2Β  = (π‘Ž + 𝑏)2

π‘Ž2 + 2π‘Žπ‘ + 𝑏2 = (π‘Ž + 𝑏)(π‘Ž + 𝑏)


misal:

π‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐 = (π‘₯ + 𝑝)(π‘₯ + π‘ž)

π‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐 = π‘₯2 + 𝑝π‘₯ + π‘žπ‘₯ + π‘π‘ž

π‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐 = π‘₯2 + (𝑝 + π‘ž)π‘₯ + π‘π‘ž jika dan hanya jika

𝑏π‘₯ = (𝑝 + π‘ž)π‘₯

𝑏  = 𝑝+ π‘ž dan 𝑐=π‘π‘ž atau

𝑝 + π‘ž=𝑏 dan π‘π‘ž =𝑐


Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat π‘₯2βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 10 = 0 ! Jawab: 𝑝 + π‘ž=𝑏 dan π‘π‘ž =𝑐

𝑝 + π‘ž=βˆ’3Β  dan π‘π‘žΒ  =6


misal: βˆ’3 = βˆ’5 + 2, βˆ’3 = βˆ’1 βˆ’ 2, dan lain-lain.

misal: βˆ’10 = (βˆ’5)(2), βˆ’10 = (5)(βˆ’2), dan lain-lain.


Karena yang sama pada permisalan pertama dan permisalan kedua adalah βˆ’5 dan 2, maka dipakai 𝑝 = βˆ’5 dan π‘ž = 2

π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 10 = (π‘₯ + 𝑝)(π‘₯ + π‘ž)

π‘₯2βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 10 = (π‘₯ βˆ’ 5)(π‘₯ +2)


Coba dicek

(π‘₯ βˆ’ 5)(π‘₯ + 2) = π‘₯2 + 2π‘₯ βˆ’ 5π‘₯ βˆ’ 10 (π‘₯ βˆ’ 5)(π‘₯ + 2) = π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 10


Akar-akar persamaan kuadrat

(π‘₯ βˆ’ 5)(π‘₯ + 2) = 0

π‘₯ βˆ’ 5 = 0 atau π‘₯ + 2 = 0

π‘₯ = 5 atau π‘₯ = βˆ’2


Jadi, akar-akar persamaan kuadrat π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 10 = 0 adalah π‘₯ = 5 atau π‘₯ = βˆ’2.


  • Kuadrat Sempurna

Kuadrat Sempurna


Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)

Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)


Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 10 = 0 ! Jawab: π‘Ž = 1, 𝑏 = βˆ’3, dan 𝑐 = βˆ’10

Pembahasan


Pembahasan 1

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 10 = 0 adalah π‘₯ = 5 atau π‘₯ = βˆ’2.


  • Rumus 𝒂𝒃𝒄

Rumus 𝒂𝒃𝒄

Contoh Rumus 𝒂𝒃𝒄


Jumlah Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan Β dengan akar-akar x1 dan x2

Jumlah Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat


Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika diketahui akar-akar suatu persamaan adalah x1 dan x2, maka dapat kita susun persamaan kuadrat dengan cara sebagi berikut:

Dengan menggunakan perkalianΒ  factor

Contoh: Susulah suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui -8 dan 5


Jawab:

x1 = -8 dan x2 = 5

Dengan menggunakan sifat akar persamaan kuadrat

Contoh: susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -2 dan 7!


Jawab:

Karena x1 = -2 dan x2 = 7, maka

Jadi persamaan kuadrat adalah xΒ² – 5x – 14 = 0


Untuk hal-hal khusus berlaku

Kedua akarnya saling berlawanan

Kedua akarnya saling berlawanan


Kedua akarnya saling kebalikan

Kedua akarnya saling kebalikan


Hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

kedua akarnya real dan positif, maka

kedua akarnya real dan positif


kedua akarnya real dan negatife, maka

kedua akarnya real dan negatife


Kedua akarnya real dan berlawanan tanda, maka

Kedua akarnya real dan berlawanan tanda


Kedua akarnya sama (kembar), maka

Kedua akarnya sama (kembar)


Kedua akarnya sama tapi tandanya berlawanan, maka

Kedua akarnya sama tapi tandanya berlawanan


Kedua akarnya saling berkebalikan, maka

Kedua akarnya saling berkebalikan


Salah satu akarnya nol, maka

Salah satu akarnya nol


B. Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal persamaan kuadrat, terdiri atas:


1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …

  1. imajiner
  2. kompleks
  3. nyata, rasional dan sama
  4. nyata dan rasional
  5. nyata, rasional dan berlainan.

PEMBAHASAN :

NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda

D < 0, memiliki akar-akar imajiner

D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar

D = b2 – 4ac

= (-3)2 – 4.5.1

= 9 – 20

= -11

JAWABAN : A


2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …

  1. 3
  2. 2
  3. 1/2
  4. –1/2
  5. -2

PEMBAHASAN :

Pembahasan No 1

JAWABAN : C


3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai + = …

  1. -2/3
  2. -3/2
  3. 2/3
  4. 3/2
  5. 5/2

PEMBAHASAN :

Pembahasan No 2


JAWABAN : D


4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 + 2)adalah …

  1. x2 – x + 9 = 0
  2. x2 + 5x + 9 = 0
  3. x2 – 5x – 9 = 0
  4. x2 – 5x + 5 = 0
  5. x2 – 5x + 9 = 0

PEMBAHASAN :

PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0

y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)

= (x1 + x2) + 4

= – + 4

= – + 4

= 5

y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)

= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4

= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4

= – 2 + 4

= – 2 + 4

= 3 + 2 + 4

= 9

PK Baru : x2 – 3x + 8 = 0

JAWABAN : E


5. Sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 diperoleh pada garis …

  1. x = 3/2
  2. x = 3/2
  3. x = 5/2
  4. x = 5/2
  5. x = 3

PEMBAHASAN :

Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0

Y’ = 2x – 5

0 = 2x – 5

x = 5/2

jadi sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 adalah x = 5/2

JAWABAN : D


Daftar Pustaka:

Aldes, C.J. 1987. Aljabar untuk SMTA dan yang Setingkat Jilid 2. Jakarta: Pradnya Paramita.


Demikianlah pembahasan mengenai Rumus Persamaan Kuadrat – Penyelesaian, Akar dan Contoh SoalΒ semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. πŸ™‚ πŸ™‚ πŸ™‚


Baca Juga Artikel Lainnya:

  1. Angka Romawi
  2. Identitas Trigonometri
  3. Barisan dan Deret Aritmatika
  4. Rumus Prisma
  5. Jaring Jaring Balok
  6. Jaring-Jaring Kubus
  7. Transformasi Geometri
  8. Integral Trigonometri
  9. Rumus Phytagoras
  10. Rumus Standar Deviasi