Pada makalah ini, kita akan mempelajari tentang rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier untuk menggambarkan fungsi kuadrat. Maka dari itu, kami membuat makalah ini bertujuan untuk mempelajari lebih dalam tentang persamaan kuadrat dan persamaan linier yang akhir-akhir ini mungkin sudah tidak diminati oleh para mahasiswa. Apalagi dengan kemajuan teknolagi zaman sekarang. Para mahasiswa hanya ingin yang serba instant dan tanpa menguras otak.
Dalam makalah ini kami akan mengupas berbagai rumus dari persamaan kuadrat dan persamaan linier yang dipakai untuk menyelesaikan berbagai soal yang berhubungan dengan persamaan kuadrat dan persamaan linier. Selain itu, kami juga sudah membuat contoh soal beserta pembahasannya, dengan begitu pembaca dapat mengerti cara-cara yang ditempuh untuk memecahkan persoalan persamaan kuadrat.
A. Persamaan Kuadrat
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan yang berbentuk disebut persamaan kuadrat atau persamaan derajat dua dalam x. Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah dengan (bilangan real) dan. Jika maka persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu:
- Pemfaktoran
Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu:
Jika maka atau
Contoh:
Tentukan Hp dari
Jawab:
x = 5 atau x = 3 Hp-nya adalah {3, 5}
- Melengkapi Kuadrat Sempurna
dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk terlebih dahulu dirubah menjadi bentuk prinsip yang digunakan untuk menyelesaikan dengan cara tersebut adalah:
- Jika, maka mempunyai 2 akar real yaitu
- Jika, maka mempunyai 1 akar real yaitu
- Jika, maka tidak mempunyai akar real
Contoh:
Tentukan Hp dari
Jawab:
- Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat
Contoh:
Carilah Hp dari dengan menggunakan rumus
Jawab:
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadratdapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai pengganti tersebut mengubah kalimat terbuka (persamaan kuadrat) menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Beberapa cara untuk menyelesaikan atau menemukan akar-akar dari persamaan kuadrat diantaranya dengan cara berikut.
-
Pemfaktoran
Jika dapat difaktorkan, maka akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan sifat;
Jika p, q R dan berlaku pq = 0, maka p = 0, atau q = 0
Ingat kembali :
?2 + 2?? + ?2 = (? + ?)2
?2 + 2?? + ?2 = (? + ?)(? + ?)
misal:
?2 + ?? + ? = (? + ?)(? + ?)
?2 + ?? + ? = ?2 + ?? + ?? + ??
?2 + ?? + ? = ?2 + (? + ?)? + ?? jika dan hanya jika
?? = (? + ?)?
? = ?+ ? dan ?=?? atau
? + ?=? dan ?? =?
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat ?2− 3? − 10 = 0 ! Jawab: ? + ?=? dan ?? =?
? + ?=−3 dan ?? =6
misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain.
misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain.
Karena yang sama pada permisalan pertama dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka dipakai ? = −5 dan ? = 2
?2 − 3? − 10 = (? + ?)(? + ?)
?2− 3? − 10 = (? − 5)(? +2)
Coba dicek
(? − 5)(? + 2) = ?2 + 2? − 5? − 10 (? − 5)(? + 2) = ?2 − 3? − 10
Akar-akar persamaan kuadrat
(? − 5)(? + 2) = 0
? − 5 = 0 atau ? + 2 = 0
? = 5 atau ? = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat ?2 − 3? − 10 = 0 adalah ? = 5 atau ? = −2.
-
Kuadrat Sempurna
Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat ?2 − 3? − 10 = 0 ! Jawab: ? = 1, ? = −3, dan ? = −10
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat ?2 − 3? − 10 = 0 adalah ? = 5 atau ? = −2.
-
Rumus ???
Jumlah Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan dengan akar-akar x1 dan x2
Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika diketahui akar-akar suatu persamaan adalah x1 dan x2, maka dapat kita susun persamaan kuadrat dengan cara sebagi berikut:
Dengan menggunakan perkalian factor
Contoh: Susulah suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui -8 dan 5
Jawab:
x1 = -8 dan x2 = 5
Dengan menggunakan sifat akar persamaan kuadrat
Contoh: susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -2 dan 7!
Jawab:
Karena x1 = -2 dan x2 = 7, maka
Jadi persamaan kuadrat adalah x² – 5x – 14 = 0
Untuk hal-hal khusus berlaku
Kedua akarnya saling berlawanan
Kedua akarnya saling kebalikan
Hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
kedua akarnya real dan positif, maka
kedua akarnya real dan negatife, maka
Kedua akarnya real dan berlawanan tanda, maka
Kedua akarnya sama (kembar), maka
Kedua akarnya sama tapi tandanya berlawanan, maka
Kedua akarnya saling berkebalikan, maka
Salah satu akarnya nol, maka
B. Contoh Soal Persamaan Kuadrat
Berikut ini terdapat beberapa contoh soal persamaan kuadrat, terdiri atas:
1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …
- imajiner
- kompleks
- nyata, rasional dan sama
- nyata dan rasional
- nyata, rasional dan berlainan.
PEMBAHASAN :
NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
D < 0, memiliki akar-akar imajiner
D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar
D = b2 – 4ac
= (-3)2 – 4.5.1
= 9 – 20
= -11
JAWABAN : A
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …
- 3
- 2
- 1/2
- –1/2
- -2
PEMBAHASAN :
JAWABAN : C
3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai + = …
- -2/3
- -3/2
- 2/3
- 3/2
- 5/2
PEMBAHASAN :
JAWABAN : D
4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 + 2)adalah …
- x2 – x + 9 = 0
- x2 + 5x + 9 = 0
- x2 – 5x – 9 = 0
- x2 – 5x + 5 = 0
- x2 – 5x + 9 = 0
PEMBAHASAN :
PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0
y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)
= (x1 + x2) + 4
= – + 4
= – + 4
= 5
y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)
= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4
= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
= – 2 + 4
= – 2 + 4
= 3 + 2 + 4
= 9
PK Baru : x2 – 3x + 8 = 0
JAWABAN : E
5. Sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 diperoleh pada garis …
- x = 3/2
- x = 3/2
- x = 5/2
- x = 5/2
- x = 3
PEMBAHASAN :
Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0
Y’ = 2x – 5
0 = 2x – 5
x = 5/2
jadi sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 adalah x = 5/2
JAWABAN : D
Daftar Pustaka:
Aldes, C.J. 1987. Aljabar untuk SMTA dan yang Setingkat Jilid 2. Jakarta: Pradnya Paramita.
Demikianlah pembahasan mengenai Rumus Persamaan Kuadrat – Penyelesaian, Akar dan Contoh Soal semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂
Baca Juga Artikel Lainnya:
