Turunan Trigonometri

Diposting pada

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Turunan merupakan operasi matematika yang tidak asing lagi bagi seorang mahasiswa. Namun tidak dipungkiri bahwa dalam menyelesaikan operasi turunan membutuhkan waktu yang cukup lama karena harus menyelesaikan perhitungan-perhitungan yang cukup rumit dan hasilnya pun belum tentu kebenarannya.

Turunan-Trigonometri

Banyak permasalahan sehari-hari yang menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri dalam penyelesaiannya. Dalam makalah ini akan dibahas rangkuman materi tentang turunan fungsi trigonometri serta contoh soal disertai pembahasannya.


Pengertian Turunan Trigonometri

Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.


Rumus Turunan Trigonometri

Pada dasarnya turunan trigonometri mengacu pada definisi turunan. Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = tan x, keduanya mempunyai turunan(dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f'(x) = cos x dan turunan cos x adalah g'(x) =sec2x. Hal itu dapat dibuktikan dengan rumus f ‘(x) = limh→0fx+h-f(x)h, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri.


  1. Turunan f(x) = sin x

Diketahui f (x) = sin x

f ‘(x)      = limh→0fx+h-f(x)h

= limh→0sinx+h-sin(x)h

= limh→02cos122x+hsin12(h)h

= limh→0cos(x + 12h) . limh→0sin12 h(12h)

= cosx.1

= cosx

Jadi ddx (sin x) = cosx


  1. Turunan f(x) = tan x

Diketahui, f (x) = tan x = sinxcosx

g(x)    = sin x g'(x) = cos x

h(x)    = cos x h'(x) = -sinx

f ‘(x)   =hxg’x- g(x)h'(x) [h(x)]2

= cos xcos x- sin x.(-sinx)[cos x]2

= cos2x+ sin2cos2x

=1cos2x=sec2x

Jadi ddx(tanx) = sec2x

Dengan jalan yang sama dapat dicari turunan cot x, sec x, cosec x.

Rumus-Turunan-Trigonometri


Contoh Soal Turunan Trigonometri

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal turunan trigonometri, terdiri atas:


Contoh 1

Turunkan fungsi berikut:

y = 5 sin x


Pembahasan:

y = 5 sin x
y’ = 5 cos x


Contoh 2

Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x

Tentukan nilai dari f ‘ ( π/2).


Pembahasan:

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

rumus turunan untuk fungsi trigonometri

f(x) = 3 cos x

f ‘(x) = 3 (−sin x)

f ‘(x) = −3 sin x

Untuk x = π/2 diperoleh nilai f ‘(x)

f ‘(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3


Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x


Pembahasan:

y = −4 sin x

y’ = −4 cos x


Contoh 4

Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y’


Pembahasan

y = −2 cos x

y’ = −2 (−sin x)

y’ = 2 sin x


Contoh 5

Tentukan y’ dari y = 4 sin x + 5 cos x


Pembahasan:

y = 4 sin x + 5 cos x

y’ = 4 (cos x) + 5 (−sin x)

y ‘ = 4 cos x − 5 sin x


Contoh 6

Tentukan turunan dari

y = 5 cos x − 3 sin x


Pembahasan:

y = 5 cos x − 3 sin x

y’ = 5 (−sin x) − 3 (cos x)

y’ = −5 sin x − cos x


Contoh 7

Tentukan turunan dari:

y = sin (2x + 5)


Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = sin (2x + 5)

y ‘ = cos (2x + 5) ⋅ 2 → Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5

y’ = 2 cos (2x + 5)


Contoh 8

Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)


Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = cos (3x − 1)

y ‘ = − sin (3x −1) ⋅ 3 → Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1

Hasil akhirnya adalah

y’ = − 3 sin (3x − 1)


Contoh 9

Tentukan turunan dari:

y = sin2 (2x −1)


Pembahasan:

Turunan berantai:

y = sin2 (2x −1)

y’ = 2 sin 2−1 (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2

y’ = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2

y’ = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)


Contoh 10

Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x)

Turunan pertama fungsi f adalah f ‘ maka f ‘(x) =….

Pembahasan

f(x) = sin3 (3 – 2x)

Turunkan sin3 nya,

Turunkan sin (3 – 2x) nya,

Turunkan (3 – 2x) nya,


Hasilnya dikalikan semua seperti ini:

f(x) = sin3 (3 – 2x)

f ‘ (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2

f ‘ (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)


Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ

f ‘ (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
|_____________________|

sin 2 (3 − 2x)

f ‘ (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)

f ‘ (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)
atau:

f ‘ (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)


Contoh 11

Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …


Pembahasan:

Turunan berantai

f(x) = sin2 (2x + 3)

Turunkan sin2 nya,

Turunkan sin (2x + 3) nya,

Turunkan (2x + 3) nya.

f ‘(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2

f ‘(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)


Demikianlah pembahasan mengenai Turunan Trigonometri – Pengertian, Rumus dan 11 Contoh Soal semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian semua,,, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂


Baca Juga Artikel Lainnya:

  1. Limit Trigonometri
  2. Contoh Soal Integral
  3. Identitas Trigonometri
  4. Integral Trigonometri
  5. Rumus Interpolasi
  6. Rumus Himpunan
Mungkin Dibawah Ini yang Kamu Butuhkan